Bahan Kuliah Statistik 2

Bahan Kuliah Statistik 2

                                                                                      BAB I
                                                                            PENDAHULUAN
1.1. STATISIK DESKRIPTIF DAN INDUKTIF
Ada 2 jenis Statistik yaitu: Statistik Deskriptif dan Statistik Induktif. Statistik Deskriptif semua materi tercakup pada Mata Kuliah Statistik I, sedangkan Statistik Induktif hanya sebagian yang tercakup pada Mata Kuliah Statistik II (sebagian yang lain merupakan advance statistics)
Statistik Deskriptif:
• Hanya menggambarkan suatu keadaan
• Melihat Perkembangan dari waktu ke waktu
• Membandingkan antar objek
• Tidak memerlukan landasan teori dan penghitungan statistik yang rumit
• Sampel yang dipilih bisa random atau non random
• Teknik-teknik analisis Statistik Deskriptif:
1. Analisa Tabel:
Tabel satu arah, Tabel dua arah, dan Tabel tiga arah
2. Analisa Grafik
Grafik Garis, Grafik Batang, Grafik Lingkaran, Grafik Gambar, dan Grafik Peta
3. Ukuran statistik
Rata-rata, median, modus, persentase, koefisien variasi, dan standar deviasi,
4. Angka Indeks
Indeks sederhana, Indeks agregatif tidak tertimbang, Indeks agregatif tertimbang
(Laspeyres, Paasche, Fisher, Drobisch, Marshal)
5. Ukuran korelasi
Korelasi Pearson, Korelasi Rank Spearman, dan Contingency Coefficient

Statistik Induktif :
• Men-generalisasi keadaan
• Mengestimasi/memodelkan
• Memerlukan landasan teori statistik
• Sampel yang dipilih harus random
• Teknik-teknik analisis Statistik Induktif:
1. Pendugaan parameter (pendugaan interval)
2. Analisis Korelasi dan Pengujiannya
3. Uji Beda rata-rata (observasi berpasangan)
4. Analisis Regresi Linier Sederhana
5. Analisis Regresi Linier Berganda
6. Model-model Kuantitatif
7. Model Ekonometrik
8. Model Quality Control
9. Analisis-analisis Multivariate: An. Komponen Utama, An. Faktor, An. Cluster, An. Diskriminan, An. Korelasi Kanonik, An. Regresi Logistik, dll
1.2. CAKUPAN MATERI STATISTIK II
a. Perbedaan Statistik Deskriptif dan Induktif
 Statistik Deskriptif bersifat menggambarkan suatu keadaan (biasanya meliputi perbandingan antar objek atau perkembangan dari waktu ke waktu)
 Statistik Induktif bersifat mengestimasi, menguji hipotesa dan membuat model untuk penarikan kesimpulan
 Statistik I = Statistik Deskriptif
 Statistik II = sebagian dari Statistik Induktif
b. Teori Peluang
 Konsep dasar peluang: Percobaan Statistik, Ruang Sampel, Kejadian
 Penghitungan peluang: konsep klasik dan konsep frekuensi relatif
 Konsep Peubah Acak dan Fungsi Peluang
 Fungsi Peluang Empiris (Diskrit dan Kontinu)
 Fungsi Peluang Teoritis (Fungsi Distribusi Statistik): Binomial, Poisson, Hipergeometrik, dan Normal
c. Pendugaan Interval
 Pendugaan interval rata-rata 1 populasi
 Pendugaan interval selish rata-rata 2 populasi
 Pendugaan interval proporsi 1 populasi
 Pendugaan interval selisih proporsi 2 populasi
d. Pengujian Hipotesa
 Pengujian hipotesa rata-rata 1 populasi
 Pengujian hipotesa beda rata-rata 2 populasi
 Pengujian hipotesa proporsi 1 populasi
 Pengujian hipotesa beda rata-rata 2 populasi
 Pengujian hipotesa independensi
e. Analisis Regresi Linier
 Pembentukan Model regresi
 Pengujian model (koefisien regresi)
 Interpretasi model
1.3. METODE SAMPLING
Metode Sampling (Pengambilan Sampel) ini diperlukan untuk memilih sampel random yang dapat mewakili populasinya. Ini terutama diperlukan untuk analisis statistik induktif.
Metoda Sampling adalah cara bagaimana memilih sampel yang tepat. Sampel yang tepat adalah Sampel dengan jumlah sekecil mungkin, namun dapat mewakili populasi.
Tujuannya = Agar hasil penelitian (estimasi) relatif tepat, penyimpangan Sekecil mungkin
Alasan Penggunaan Sampel:
a. Biaya lebih murah
b. Waktu lebih singkat
c. Tenaga lebih sedikit
d. Akurasi lebih tinggi
e. Penelitian bersifat merusak
Teknik Sampling ada 2 macam :
a. Non Probability Sampling (Non Random Sampinlg)
b. Probability Samping (Random Sampling)
Non Probability Sampling tidak memerlukan Kerangka Sampel
Probability Sampling mutlak memerlukan Kerangka Sampel
Kerangka Sampel (Sampling Frame):
a. daftar anggota populasi yang diteliti
b. yarat kerangka sampel yang baik:
- Lengkap (tidak terlewat atau duplikasi)
- up to date
- relevan
Non Probability Sampling
• Pengambilan Sampel dilakukan secara non random (tidak acak)
• Pengambilan dilakukan secara subyektif
• Teknik ini tidak dapat diajarkan secara ilmiah
• Hanya bersifat pengalaman
• Teknik Samplingnya:
- Purposive Samplin
- Quota Sampling
- Haphazard Sampling
Probability Sampling
• Pengambilan Sampel dilakukan secara random
• Ada prosedur pengambilan sampel yang baku
• Dapat dipelajari/diajarkan secara ilmiah
• Teknik Sampling:
- Simpel Random Sampling
- Stratified Sampling
- Systematic Sampling
- Cluster/Multistage Sampling
 Simpel Random Sampling
- Digunakan untuk populasi yang relatif homogen
- Sampel dipilih dengan 2 cara :
Metode lotery (arisan)
Dengan Tabel Angka Random
 Stratified Sampling
- Digunakan untuk populasi yang relatif heterogen
- Populasi dibagi menjadi sub-sub populasi yang relatif homogen (Strata)
- Jadi setiap strata merupakan kumpulan objek yang homogen
- Setiap strata ada wakilnya
 Systematic Sampling
- Digunakan untuk populasi yang relatif heterogen
- Objek-objek dalam populasi diurutkan
- Diambil secara sistematis : – linear systematic
- circulair systematic
 Multistage Sampling
Digunakan untuk populasi yang relatif heterogen
Biasanya objek-objek dikelompokkan dalam wilayah-wilayah
Wilayah yang dimaksud: RT, RW, Desa/Kel, Kec, Kab/Kota, Prop, Negara
Pemilihan sampelnya bertahap dari unit terbesar sampei terkecil
Contoh : Three Stages Sampling (3 tahap)
Tahap 1 : Kabupaten/Kota
Tahap 2 : Kelurahan
Tahap 3 : Rumah Tangga
BAB II
PENGANTAR TEORI PROBABILITAS
Untuk mengetahui karakteristik suatu populasi sering dilakukan dengan menganalisis hanya sebagian data saja (atau sering disebut dengan sampel). Berdasarkan informasi yang terkandung dalam sampel, dilakukan pengambilan kesimpulan terhadap populasinya. Dasar logika dari proses pengambilan kesimpulan tentang suatu populasi dengan menganalisis data sampel adalah probabilitas. Oleh karena itu, pemahaman tentang teori probabilitas sangat diperlukan dan bersifat mendasar.
Kata “probabilitas” atau “peluang” adalah kata yang biasa dipakai dalam kehidupan sehari-hari. Suatu peristiwa yang mempunyai probabilitas untuk terjadi mengandung arti bahwa ada harapan peristiwa itu akan terjadi. Jika ada kepastian bahwa suatu peristiwa akan terjadi, maka peluang terjadinya peristiwa itu adalah 1. Jika tidak ada peluang sama sekali bahwa suatu peristiwa akan terjadi, maka peluangnya adalah 0.
Konsep probabilitas berhubungan dengan pengertian eksperimen atau percobaan yang menghasilkan “hasil” yang tidak pasti. Artinya, eksperimen yang diulang-ulang dalam kondisi yang sama akan memberikan “hasil” yang dapat berbeda-beda. Beberapa contoh eksperimen statistik adalah sebagai berikut :
- Percobaan : pengukuran waktu reaksi kimia
Hasil : lama reaksi,
- Percobaan : pengamatan sekumpulan hasil produksi
Hasil : banyaknya produk cacat dalam kumpulan produk itu.
Beberapa definisi
• Ruang sampel (sample space) :
Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.
• Titik sampel :
Setiap unsur / elemen / anggota dari ruang sampel.
• Kejadian :
Hasil dari suatu percobaan yang mempunyai sifat tertentu.
Himpunan bagian dari ruang sampel.
CONTOH:
Dua buah uang logam dilemparkan. Tentukan yang dimaksud dengan percobaan, ruang sampel, dan titik sampelnya ! Serta berikan contoh tentang kejadian !
Jawab :
Percobaan : pelemparan dua buah uang logam
Ruang sampel :
S = {AA, AG, GA, GG}
Terdapat empat titik sampel, yaitu : AA, AG, GA, GG
Kejadian :
D = paling sedikit satu gambar muncul
D = {AG, GA, GG}.
2.1. MENCACAH TITIK SAMPEL
• Kaidah Penggandaan
Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua tersebut dapat dilakukan dalam n2 cara, bila untuk setiap pasangan dua cara yang pertama operasi ketiga dapat dilakukan dengan n3 cara, dan seterusnya, maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n1 n2 … nk cara.
CONTOH:
Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyaknya titik sampel dalam ruang sampelnya ?
Jawab :
Dadu pertama dapat menghasilkan n1 = 6 cara. Untuk setiap cara tersebut dadu kedua dapat menghasilkan n2 = 6 cara. Dengan demikian, sepasang dadu tersebut dapat menghasilkan n1 x n2 = 6 x 6 = 36 cara.
CONTOH:
Berapa banyak bilangan genap, terdiri atas tiga angka yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 5, 6, dan 9, bila setiap angka tersebut hanya boleh digunakan sekali ?
Jawab :
Karena bilangan genap yang terdiri atas tiga angka ditentukan oleh angka yang menduduki posisi satuan, maka terdapat 2 pilihan angka. Untuk setiap pilihan tersebut, tersedia 4 pilihan bagi posisi ratusan dan 3 pilihan bagi posisi puluhan. Dengan demikian, terdapat (2) (4) (3) = 24 bilangan genap yang terdiri dri tiga angka.
• Permutasi
Adalah susunan yang dibentuk dari suatu kumpulan obyek yang diambil sebagian atau seluruhnya.
 Banyaknya permutasi n obyek yang berbeda adalah n(n – 1)(n – 2)…3  2  1 = n!
 Banyaknya permutasi akibat pengambilan r obyek dari n obyek yang berbeda, untuk r  n, adalah n(n-1)(n-2)…(n-(r-1)) = nPr = n! / (n-r)!
 Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n – 1)!
 Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, … , nk berjenis ke-k adalah
n!
n1! n2 ! … nk !
dengan n1 + n2 + … + nk = n.
CONTOH:
a. Berapa banyak susunan berbeda huruf-huruf A, B, C bisa dibentuk, bila masing-masing huruf hanya boleh digunakan sekali ?
b. Bila diambil dua huruf dari tiga huruf tsb., maka berapa susunan huruf berbeda yang mungkin dibentuk ?
Jawab :
a. (3) (2) (1) = 6 cara.
b. (3) (2) = 6 cara.
CONTOH:
a. Tersedia empat angka : 1, 2, 3, 4. Berapa bilangan yang dapat dibuat dari semua angka tersebut ?
b. Bila diambil dua angka dari empat angka, maka berapakah susunan angka berbeda yang mungkin dibentuk ?
Jawab :
a. (4) (3) (2) (1) = 4 ! = 24 bilangan.
b. 4P2 = (4!) / ((4-2)!) = 12 susunan angka.
CONTOH:
Berapa macam permutasi yang berlainankah yang dapat disusun dari kata ‘matematika’ ?
Jawab :
10 ! = 453600 macam
2! 2! 2! 1! 1! 1! 1!
• Kombinasi
Adalah banyaknya cara mengambil r obyek dari n obyek tanpa memperhatikan urutan.
 Kombinasi adalah membuat sekatan dengan 2 sel. Satu sel berisi r benda yang dipilih dan sel yang lain berisi n-r benda yang tidak terpilih.
 Banyaknya kombinasi r obyek dari n obyek yang berbeda adalah
CONTOH:
Dalam berapa cara 2 pertanyaan dalam soal ujian dapat dipilih, dari 3 pertanyaan yang disediakan ?
Jawab :
Banyaknya cara memilih 2 dari 3 soal ujian
2.2. PROBABILITAS SUATU KEJADIAN
• Kemungkinan terjadinya suatu kejadian sebagai hasil percobaan statistika dinilai dengan menggunakan bil real yang disebut bobot atau probabilitas (peluang) dengan nilai dari 0 sampai 1.
• Untuk tiap titik pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot sedemikian hingga jumlah semua bobot sama dengan 1.
• Bila titik sampel tertentu mempunyai kemungkinan besar untuk terjadi, maka bobot yang diberikan hendaknya dekat dengan 1. Sebaliknya, bobot yang lebih dekat dengan 0 diberikan pada titik sampel yang kecil kemungkinannya terjadi.
• Probabilitas suatu kejadian A adalah :
Jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk dalam A. Jadi :
0  P(A)  1
P() = 0
P(S) = 1
CONTOH:
Sekeping uang logam setimbang dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitasnya sekurang-kurangnya sisi gambar muncul sekali ?
Jawab :
Ruang sampel percobaan ini adalah :
S = {AA, AG, GA, GG}
Bila D menyatakan kejadian bahwa sekurang-kurangnya sisi gambar muncul sekali, maka
D = {GA, AG, GG}
P(D) = ¼ + ¼ + ¼ = ¾
• Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan yang berbeda, dan masing-masing mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi, dan bila tepat n di antara hasil percobaan itu menyusun kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah :
P(A) = n/N
CONTOH :
Sekantung obat berisi 6 vitamin rasa jeruk, 4 rasa anggur, dan 3 rasa strawberi. Bila seseorang mengambil satu obat secara acak, carilah probabilitasnya mendapat :
a. Satu rasa jeruk
b. Satu rasa anggur atau strawberi.
Jawab :
Misalkan J, A, dan S masing-masing menyatakan kejadian bahwa yang terpilih adalah rasa teruk, anggur dan strawberi. Jumlah tablet 13, semuanya terpilih dengan probabilitas yang sama.
a. Karena 6 dari 13 tablet dengan rasa jeruk, maka probabilitas kejadian J, satu rasa j eruk terpilih secara acak
P(J) = 6/13
b. Karena 7 dari 13 tablet dengan rasa anggur atau strawberi, maka
P(A  B) = 7/13
• Definisi probabilitas berdasarkan frekuensi relatif :
Penentuan probabilitas didasarkan atas pengetahuan sebelumnya atau berdasarkan bukti percobaan.
Penentuan probabilitas didasarkan atas frekuensi relatif dari terjadinya kejadian apabila banyaknya pengamatan sangat besar.
• Definisi probabilitas berdasarkan subyektivitas :
Penentuan probabilitas didasarkan atas intuisi, keyakinan pribadi, & informasi tidak langsung lain.
2.3. ATURAN PENJUMLAHAN
• Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
• Bila A dan B adalah dua kejadian yang saling terpisah (mutually exclusive), maka
P(A  B) = P(A) + P(B)
• Bila A, B, C adalah tiga kejadian sembarang, maka
P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A  B) – P(A  C) – P(B  C)
+ P(A  B  C)
• Bila A1, A2,.…, An adalah kejadian-kejadian yang saling terpisah, maka
P(A1  A2  …  An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)
• Bila A dan A’ adalah dua kejadian berkomplementer, maka
P(A) + P(A’) = 1
CONTOH:
Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluangnya lulus statistika 4/9. Bila peluang lulus kedua mata kuliah ¼, berapakah peluangnya lulus paling sedikit satu mata kuliah ?
Jawab :
Bila M menyatakan kejadian ‘lulus Matematika’ dan S ‘lulus statistika’ maka
P(M  S) = P(M) + P(S) – P(M  S)
= 2/3 + 4/9 – ¼ =31/36
CONTOH:
Berapakah probabilitas mendapat 7 atau 11 bila dua dadu dilemparkan ?
Jawab :
Misalkan A kejadian jumlah 7 muncul, dan B kejadian jumlah 11 muncul. Jumlah 7 dapat muncul dalam 6 dari 36 titik sampel dan jumlah 11 dalam 2 titik sampel. Karena semua titik berkemungkinan sama maka P(A) = 6/36 = 1/6. dan P(b) = 2/36 = 1/18. Kejadian A dan B saling terpisah karena jumlah 7 dan 11 tidak mungkin terjadi pada lemparan yang sama, sehingga
P(A  B) = P(A) + P(B)
= 1/6 + 1/18 = 2/9
2.4. PROBABILITAS BERSYARAT DAN INDEPENDENSI
PENGERTIAN :
Probabilitas terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dinyatakan dengan P(B|A). Lambang P(B|A) biasanya dibaca “peluang B terjadi bila diketahui A terjadi” atau lebih sederhana lagi “peluang B, bila A diketahui”.
Definisi 1 :
Peluang bersyarat B bila A diketahui, dinyatakan dengan P(B|A), ditentukan oleh :
CONTOH:
1. Probabilitas suatu penerbangan yang telah terjadual teratur berangkat tepat waktu P(B) = 0,83; probabilitas sampai tepat waktu P(S) = 0,82; dan probabilitas berangkat dan sampai tepat waktu P(B  S) = 0,78. Carilah probabilitas bahwa pesawat :
a. sampai tepat waktu apabila diketahui berangkat tepat waktu,
b. berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tepat waktu.
Jawab :
a. Probabilitas pesawat sampai tepat waktu jika diketahui berangkat tepat waktu adalah :
b. Probabilitas pesawat berangkat tepat waktu apabila diketahui sampai tepat waktu adalah :
Definisi 2 :
Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika :
P(B|A) = P(B)
dan
P(A|B) = P(A).
Jika tidak demikian, maka A dan B tak bebas.
CONTOH 13 :
Misalkan diberikan suatu percobaan yang berkaitan dengan pengambilan 2 kartu yang diambil berturutan dari sekotak kartu dengan pengembalian. Kejadian ditentukan sebagai :
A = kartu pertama yang terambil as,
B = kartu kedua sebuah skop (spade).
Karena kartu pertama dikembalikan, ruang sampel untuk kedua pengambilan terdiri dari 52 kartu, berisi 4 as dan 13 skop. Jadi
dan
Jadi, P(B|A) = P(B). Apabila hal ini benar, maka kejadian A dan B dikatakan bebas (independent).
Definisi 3 :
Bila dalam suatu percobaan A dan B dapat terjadi sekaligus, maka :
P(A  B) = P(A) P(BA)
P(A  B) = P(B) P(AB)
CONTOH:
Suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam, dan kantong kedua berisi 3 bola merah dan 5 bola hitam. Satu bola diambil dari kantong pertama dan dimasukkan tanpa melihatnya ke kantong kedua. Berapakah probabilitas apabila sekarang diambil bola hitam dari kantong kedua ?
Jawab :
Misalkan H1, H2, dan M1 masing-masing menyatakan mengambil 1 bola hitam dari kantong 1, 1 bola hitam dari kantong 2, dan 1 bola merah dari kantong 1. Ingin diketahui gabungan dari kejadian mutually exclusive H1  H2 dan M1  H2. Berbagai kemungkinan dan probabilitasnya diperlihatkan pada Gambar di bawah ini.
Selanjutnya,
Definisi 4 :
Bila 2 kejadian A dan B bebas, maka :
P(A  B) = P(A) P(B)
CONTOH:
Suatu kota kecil mempunyai sebuah mobil pemadam kebakaran dan sebuah ambulans untuk keadaan darurat. Probabilitas mobil pemadam kebakaran siap setiap waktu diperlukan adalah 0,98; probabilitas mobil ambulans siap setiap waktu dipanggil adalah 0,92. Jika dalam kejadian ada kecelakaan karena kebakaran gedung, maka carilah probabilitas keduanya siap.
Jawab :
Misalkan A dan B masing-masing menyatakan Kejadian mobil pemadam kebakaran dan ambulans siap. Oleh karena itu,
P(A B) = P(A) P(B) = (0,98)(0,92) = 0,9016.